Page 43 - cip2007
P. 43
Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 31
Proposici´ on. (Continuidad de la probabilidad). Sea {A n : n ∈
N} una sucesi´on de eventos convergente al evento A.Entonces
l´ım P(A n )= P(A).
n→∞
Demostraci´on. La prueba se basa en las siguientes dos desigualdades:
a) l´ım sup P(A n ) ≤ P(l´ım sup A n ).
n→∞ n→∞
b) P(l´ım inf A n ) ≤ l´ım inf P(A n ).
n→∞ n→∞
Como la sucesi´on de eventos es convergente al evento A,entonces ell´ımi-
te superior y el l´ımite inferior son iguales a A.Se sigue entonces de las
desigualdades (a) y (b) que
l´ım sup P(A n ) ≤ P(l´ım sup A n )
n→∞ n→∞
= P(A)
= P(l´ım inf A n )
n→∞
≤ l´ım inf P(A n ).
n→∞
De donde se concluye el resultado. Nos concentraremos ahora en demostrar
las desigualdades enunciadas.
$ ∞
a) Como A n ⊆ k=n A k ,entonces
∞
!
P(A n ) ≤ P( A k ),
k=n
