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32 1.3. Medidas de probabilidad

$
∞
en donde { k=n A k : n ∈ N} es una sucesi´on decreciente de eventos.
Tomando el l´ımite superior se obtiene
∞
!
l´ım sup P(A n ) ≤ l´ım sup P( A k )
n→∞ n→∞
k=n
∞
!
= l´ım P( A k )
n→∞
k=n
∞
!
= P(l´ım A k )
n→∞
k=n
∞ ∞
# !
= P( A k )
n=1 k=n
= P(l´ım sup A n ).
n→∞
% ∞
b) Como k=n A k ⊆ A n ,entonces
∞
#
P( A k ) ≤ P(A n ),
k=n
% ∞
en donde { k=n A k : n ∈ N} es una sucesi´on creciente de eventos.
Tomando el l´ımite inferior se obtiene
∞
#
l´ım inf P(A n ) ≥ l´ım inf P( A k )
n→∞ n→∞
k=n
∞
#
= l´ım P( A k )
n→∞
k=n
∞
#
= P(l´ım A k )
n→∞
k=n
∞ ∞
! #
= P( A k )
n=1 k=n
= P(l´ım inf A n ).
n→∞