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30 1.3. Medidas de probabilidad

Las medidas de probabilidad tambi´en son continuas respectode sucesio-
nes no crecientes de eventos. Esta afirmaci´on es el contenidodel siguiente
resultado que se demuestra a partir de la proposici´on anterior.

Proposici´ on.Sea {A n : n ∈ N} una sucesi´on no creciente de eventos,
esto es, A 1 ⊇ A 2 ⊇ ··· .Entonces

∞
#
P( A n )= l´ım P(A n ).
n→∞
n=1

c
Demostraci´on. Observe que si A n ⊇ A n+1 ,entonces A ⊆ A c n+1 .Por la
n
proposici´on anterior,
∞
!
c
c
P( A )= l´ım P(A ).
n
n
n→∞
n=1
Aplicando las leyes de De Morgan,
∞
#
1 − P( A n )= l´ım (1 − P(A n )),
n→∞
n=1
de donde se sigue inmediatamente el resultado.
Ahora se enuncia un resultado m´as fuerte. Demostraremos quelas medidas
de probabilidad son funciones continuas. Esta propiedad es muy ´util pues
permite el c´alculo de probabilidades en procedimientos l´ımite, y se encuentra
siempre presente de manera impl´ıcita en toda la teor´ıa que se desarrolla m´as
adelante.