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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 25

Hemos demostrado antes que {B n : n ∈ N} es una sucesi´on de eventos
$ $
disjuntos dos a dos tales que B n ⊆ A n y ∞ A n = ∞ B n .Por lo
n=1
n=1
tanto
∞ ∞
! !
P( A n )= P( B n )
n=1 n=1
∞
"
= P(B n )
n=1
∞
"
≤ P(A n ).
n=1

2. Esta desigualdad se sigue de la primera al considerar la sucesi´on de
los complementos.

Proposici´ on.Sea {A n : n ∈ N} una sucesi´on de eventos.

1. Si P(A n )= 1 para toda n,entonces P( % ∞ A n )= 1.
n=1
$
2. Si P(A n )= 1 para alguna n,entonces P( ∞ A n )= 1.
n=1
3. Si P(A n )= 0 para alguna n,entonces P( % ∞ A n )= 0.
n=1
$
4. Si P(A n )= 0 para toda n,entonces P( ∞ A n )= 0.
n=1

Demostraci´on.