Page 35 - cip2007

Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 23

Proposici´ on.Sea (Ω, F,P)un espacio de probabilidad. Entonces

1. P(∅)= 0.
2. Si A 1 ,... ,A n ∈ F son ajenos dos a dos, entonces

n n
! "
P( A k )= P(A k ).
k=1 k=1

c
3. P(A )= 1 − P(A).
4. Si A ⊆ B,entonces P(B − A)= P(B) − P(A).

5. Si A ⊆ B,entonces P(A) ≤ P(B).

6. 0 ≤ P(A) ≤ 1.
7. P(A ∪ B)= P(A)+ P(B) − P(A ∩ B).

8. P(A ∪ B) ≤ P(A)+ P(B).

Demostraci´on.
1. Como ∅ = ∅∪ ∅ ∪ ··· ,por la σ-aditividad se tiene que P(∅)=
∞ P(∅), lo cual sucede ´unicamente cuando P(∅)= 0.
(
n=1
2. Se toma A n+1 = A n+2 = ··· = ∅,y la igualdad se obtiene alaplicar la
σ-aditividad y la propiedad anterior.

c
3. Se expresa a Ω como la uni´on disjunta A ∪ A .Aplicamos P yobte-
nemos la igualdad requerida.
4. Escribimos B = A∪(B −A). Aplicando P obtenemos P(B)−P(A)=
P(B − A).

5. Como la probabilidad de cualquier evento es un n´umero no negativo,
el resultado se sigue de la propiedad anterior.