Page 31 - cip2007

Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 19

Proposici´ on.Sea {A n : n ∈ N} una sucesi´on de eventos. Defina

n−1
!
B 1 = A 1 , y B n = A n − A k , para n ≥ 2.
k=1
Entonces la sucesi´on de eventos {B n : n ∈ N} satisface las siguientes
propiedades:

1. B n ⊆ A n .

2. B n ∩ B m = ∅, si n ̸= m.
∞ ∞
! !
3. B n = A n .
n=1 n=1

Demostraci´on.

1. Esto es evidente a partir de la definici´on de B n .

2. Sin p´erdida de generalidad suponga que n< m,entonces

n−1 m−1
! !
B n ∩ B m =(A n − A k ) ∩ (A m − A k )
k=1 k=1
n−1 m−1
# #
c c
=(A n ∩ A ) ∩ (A m ∩ A )
k
k
k=1 k=1
⊆ A n ∩ A c n
= ∅.
3. Consideraremos cada contenci´on por separado. Como cada B n est´a con-
tenido en A n ,entonces el lado izquierdo es efectivamente un sub-
conjunto del lado derecho. Por el contrario, sea x un elemento en