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14 1.2. σ-´ algebras

Definici´ on.Sea A ∈ B(R). La σ-´algebra de Borel de A,denotada por
B(A)o por A ∩ B(R), se define como sigue

B(A)= {A ∩ B : B ∈ B(R)}.

No es dif´ıcil comprobar que la colecci´on B(A)es efectivamente una σ-´alge-
bra de subconjuntos de A.Observe que elnuevo conjunto total es A yno
R.El concepto de σ-´algebra de Borel de R puede extenderse a dimensio-
nes mayores de la siguiente forma. Considere la colecci´on C de todas los
2
rect´angulos abiertos de R ,es decir,
C = {(a, b) × (c, d): a ≤ b, c ≤ d}.

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Se definen los conjuntos de Borel de R como los elementos de la m´ınima
2
σ-´algebra generada por la colecci´on C ,es decir, B(R )= σ(C ). De manera
2
equivalente se puede definir B(R )= σ(B(R) × B(R)). En forma an´aloga
n
se define B(R )usando productos cartesianos de intervalos.
n
Definici´ on.(σ-´ algebra de Borel de R ).
n
B(R )= σ(B(R) × ··· × B(R)).

En general el producto cartesiano de dos σ-´algebras no es una σ-´algebra
de subconjuntos del espacio producto, de modo que debe anteponerse la
operaci´on σ atal colecci´on para convertirla en una σ-´algebra.

Ejercicio. (σ-´ algebra producto). Demuestre que el producto carte-
siano de dos σ-´algebras no es necesariamente σ-´algebra. Esto es, suponga
que (Ω 1 , F 1 )y (Ω 2 , F 2 )son dos espacios medibles. Mediante un ejemplo
muestre que F 1 × F 2 no necesariamente es una σ-´algebra de subconjuntos
del espacio producto Ω 1 ×Ω 2 .Se define entonces la σ-´algebra producto como