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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 11

Conjuntos de Borel

Considere la colecci´on de todos los intervalos abiertos (a, b)de R,en donde
a ≤ b.A la m´ınima σ-´algebra generada por esta colecci´on se le llama σ-
´algebra de Borel de R,y se le denota por B(R).

Definici´ on.(σ-´ algebra de Borel de R).

B(R)= σ { (a, b) ⊆ R : a ≤ b } .

Alos elementos de B(R)se les llama conjuntos de Borel , Borelianos o
conjuntos Borel medibles.De esta forma se puede asociar la σ-´algebra B(R)
al conjunto de n´umeros reales, y obtener as´ı el espacio medible (R, B(R)).
Se muestran a continuaci´on algunos elementos expl´ıcitos de esta σ-´algebra.

Proposici´ on.Para cualesquiera n´umeros reales a ≤ b,los intervalos
[a, b], (a, ∞), (−∞,b), [a, b), (a, b]y {a},son todos elementos de B(R).

Demostraci´on. Primeramente observe que los intervalos cerrados [a, b]son
conjuntos Borelianos, pues podemos escribirlos en t´erminos de una intersec-
ci´on numerable de intervalos abiertos de la siguiente forma

∞
# 1 1
[a, b]= (a − ,b + ).
n n
n=1
Observe que cada elemento de la intersecci´on anterior es un conjunto Bore-
liano. Siendo B(R)una σ-´algebra, la intersecci´on infinita es un elemento de
B(R). De esta forma se concluye que cada intervalo cerrado es un conjunto