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12 1.2. σ-´ algebras

de Borel. As mismo tenemos que

∞
!
(a, ∞)= (a, a + n) ∈ B(R),
n=1
∞
!
y (−∞,b)= (b − n, b) ∈ B(R).
n=1

Por lo tanto

∞
# 1
[a, ∞)= (a − , ∞) ∈ B(R),
n
n=1
∞
# 1
y (−∞,b]= (−∞,b + ) ∈ B(R).
n
n=1
De forma an´aloga se puede hacer ver que los intervalos semiabiertos de la
forma [a, b)y (a, b]son conjuntos Borelianos. Los conjuntos que constan de
un solo n´umero tambi´en son conjuntos Borelianos pues
∞
# 1 1
{a} = (a − ,a + ).
n n
n=1

Complementos, intersecciones y uniones numerables de estosconjuntos son
todos ellos Borelianos. Este hecho puede utilizarse para comprobar los si-
guientes resultados.

Ejercicio. Demuestre directamente que N, Z y Q son elementos de B(R).
Demuestre adem´as que el conjunto de n´umeros irracionales es un conjunto
de Borel de R. !

Adem´as de la definici´on enunciada, existen otras formas equivalentes de
generar a los conjuntos Borelianos. Este es el contenido de lasiguiente pro-
posici´on.