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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 9

Ejercicio. Demuestre que σ(σ(C )) = σ(C ), en donde C una colecci´on de
subconjuntos de Ω. !

Ejercicio. Demuestre que σ(C 1 ∪ C 2 )= σ( σ(C 1 ) ∪ σ(C 2 )), en donde C 1
y C 2 son dos colecciones no vac´ıas de subconjuntos de Ω. !

Otras estructuras de subconjuntos

En esta secci´on se presentan los conceptos de ´algebra y semi-´algebra, y su
relaci´on con σ-´algebras. No estudiaremos estas estructuras con detalle pero
las mencionamos porque desempe˜nan un papel importante en laconstruc-
ci´on y extensi´on de medidas de probabilidad.

´
Definici´ on.(Algebra). Una colecci´on A de subconjuntos de Ω es una
´algebra si cumple las siguientes condiciones:

1. Ω ∈ A .
c
2. Si A ∈ A ,entonces A ∈ A .
n
!
3. Si A 1 ,... ,A n ∈ A ,entonces A k ∈ A .
k=1

La diferencia entre una ´algebra y una σ-´algebra estriba en que para la
primera se pide que sea una colecci´on cerrada bajo uniones finitas mientras
que la segunda es una colecci´on cerrada bajo uniones infinitas numerables.
Claramente toda σ-´algebra es una ´algebra.