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8 1.2. σ-´ algebras

σ-´algebra. A σ(C )tambi´en se le llama m´ınima σ-´algebra generada por C ,
yel adjetivo m´ınima es claro a partir del hecho de que es la σ-´algebra m´as
peque˜na que contiene a la colecci´on C .Es decir,si F es una σ-´algebra

que contiene a C ,entonces forzosamente σ(C ) ⊆ F.Observe que C ⊆
σ(C )pues a la colecci´on C se le han a˜nadido posiblemente algunos otros
subconjuntos para convertirla en la σ-´algebra σ(C ).

Ejemplo.Sean A, B ⊆ Ω con A y B ajenos. Defina la colecci´on C = {A, B}.
En general esta colecci´on no es una σ-´algebra pero podemos a˜nadirle algunos
subconjuntos de Ω para encontrar la σ-´algebra generada por C .Resulta que
la m´ınima σ-´algebra que contiene a la colecci´on C es la siguiente. ¿Puede
usted demostrar tal afirmaci´on?

c
c
c
σ(C )= {∅,A,B, (A ∪ B) ,A ∪ B, A ,B , Ω}.
!
Los siguientes dos resultados son proposiciones sencillas ynaturales acer-
ca de σ-´algebras generadas. Las demostraciones son cortas pero requieren
algunos momentos de reflexi´on en una primera lectura.

Proposici´ on.Sean C 1 y C 2 dos colecciones de subconjuntos de Ω tales
que C 1 ⊆ C 2 .Entonces σ(C 1 ) ⊆ σ(C 2 ).

Demostraci´on. Claramente C 1 ⊆ C 2 ⊆ σ(C 2 ). Entonces σ(C 2 )es una σ-
´ algebra que contiene a la colecci´on C 1 .Por lo tanto σ(C 1 ) ⊆ σ(C 2 ).

Proposici´ on.Si F es una σ-´algebra, entonces σ(F)= F.

Demostraci´on. Sabemos que F ⊆ σ(F). Por otro lado como F es una σ-
´ algebra que contiene a F,entonces σ(F) ⊆ F.Esto demuestra la igualdad.