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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 7

Hemos entonces comprobado que si F 1 y F 2 son dos σ-´algebras de un mismo
conjunto Ω,entonces F 1 ∩F 2 es nuevamente una σ-´algebra de subconjuntos
de Ω,naturalmente m´as peque˜na que F 1 y F 2 en el sentido F 1 ∩ F 2 ⊆
F 1 , F 2 .La siguiente pregunta consiste en verificar si la uni´on de dos σ-
´algebras produce nuevamente una σ-´algebra. En este caso la respuesta es
negativa. En general no es cierto que la uni´on de dos σ-´algebras produce una
nueva σ-´algebra. V´eanse por ejemplo los ejercicios 9 y 10 a este respecto. Por
otro lado se puede extender la validez de la proposici´on reci´en demostrada
aintersecciones m´as generales comoindicael siguiente resultado.

Proposici´ on.La intersecci´on finita,infinita numerable o bien arbitraria
de σ-´algebras es nuevamente una σ-´algebra.

Demostraci´on. Sea T un conjunto arbitrario distinto del vac´ıo. Suponga
que para cada t en T se tiene una σ-´algebra F t de subconjuntos de Ω.Sea
%
F = t∈T F t . Siguiendo los mismos pasos que en la demostraci´on anterior
es f´acil probar que F es una σ-´algebra. Observe que como T es un conjunto
arbitrario, la σ-´algebra F es efectivamente una intersecci´on arbitraria de
σ-´algebras.

Lo demostrado anteriormente garantiza que la siguiente definici´on tiene sen-
tido.

Definici´ on.(σ-´ algebra generada). Sea C una colecci´on no vac´ıa de
subconjuntos de Ω.La σ-´algebra generada por C ,denotada por σ(C ),
es la colecci´on

#
σ(C )= {F : F es σ-´algebra y C ⊆ F}.

Es decir, la colecci´on σ(C )es la intersecci´on de todas aquellas σ-´algebras
que contienen a C .Por la proposici´on anterior sabemos que σ(C )es una