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6 1.2. σ-´ algebras

c
tonces Ω = ∅∈ F.
c
c
c
2. Si A 1 ,A 2 ,... ∈ F,entonces A ,A ,... ∈ F.Por lo tanto $ ∞ A ∈
n=1
1
2
n
F.Tomando complementos y usando las leyes de De Morgan se ob-
tiene el resultado.
3. Estas proposiciones se siguen de lo demostrado antes y de las defini-
c
ciones A − B := A ∩ B ,y A△B := (A − B) ∪ (B − A).

La proposici´on anterior establece entonces que las σ-´algebras son estruc-
turas tambi´en cerradas bajo las operaciones de diferencia eintersecciones
numerables. En la secci´on de ejercicios pueden encontrarsealgunas otras de-
finiciones de σ-´algebra equivalentes a la que hemos enunciado, y que involu-
cran las operaciones de la proposici´on anterior. Una operaci´on de particular
importancia es aquella en la que se intersectan dos σ-´algebras produciendo
una nueva σ-´algebra, este es el contenido del siguiente resultado.

Proposici´ on.La intersecci´on de dos σ-´algebras es una σ-´algebra.

Demostraci´on. Sean F 1 y F 2 dos σ-´algebras de subconjuntos de un mismo
Ω.Entonces F 1 ∩ F 2 es aquella colecci´on de subconjuntos de Ω cuyos ele-
mentos pertenecen tanto a F 1 como a F 2 .Demostraremos que F 1 ∩ F 2 es
una σ-´algebra.
a) Como F 1 y F 2 son σ-´algebras, entonces Ω ∈ F 1 y Ω ∈ F 2 .Por lo tanto
Ω ∈ F 1 ∩ F 2 .
b) Sea A un elemento en F 1 ∩F 2 .Entonces A ∈ F 1 y A ∈ F 2 .Por lo tanto
c
c
c
A ∈ F 1 y A ∈ F 2 ,es decir, A ∈ F 1 ∩ F 2 .
c) Sea A 1 ,A 2 ,... una sucesi´on de elementos en la intersecci´on F 1 ∩ F 2 .
$ ∞
Entonces A 1 ,A 2 ,... ∈ F 1 y A 1 ,A 2 ,... ∈ F 2 .Por lo tanto n=1 A n ∈ F 1 y
$ $
∞ A n ∈ F 2 ,es decir, ∞ A n ∈ F 1 ∩ F 2 .
n=1 n=1