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10 1.2. σ-´ algebras

Definici´ on.(Semi´ algebra). Una colecci´on S de subconjuntos de Ω
es una semi´algebra si cumple las siguientes condiciones:

1. Ω ∈ S .

2. Si A, B ∈ S ,entonces A ∩ B ∈ S .

3. Si A, A 1 ∈ S son tales que A 1 ⊆ A,entonces existen A 2 ,... ,A n ∈
S tales que los subconjuntos A 1 ,... ,A n son ajenos dos a dos y se
cumple que
n
!
A = A k .
k=1

Los conceptos de σ-´algebra, ´algebra y semi´algebra est´an relacionados como
se muestra en la Figura 1.2. En la secci´on de ejercicios se pide demostrar
las implicaciones y no implicaciones que se obtienen de este diagrama.

σ-´algebras

´algebras

semi´algebras

Figura 1.2: Relaci´on general entre σ-´algebras, ´algebras y semi´algebras.

Acontinuaci´on se estudia un ejemplo particular de σ-´algebra de subconjun-
tos de n´umeros reales: la σ-´algebra de Borel.