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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 15

σ(F 1 × F 2 ). !

Ejercicio. Demuestre que la σ-´algebra σ {(a, b) × (c, d): a ≤ b, c ≤ d}
coincide con σ(B(R) × B(R)). !

Sucesiones de eventos

En esta secci´on se estudia el concepto de convergencia de unasucesi´on infi-
nita de eventos. Para enunciar tal concepto necesitaremos antes las defini-
ciones de l´ımite superior y l´ımite inferior para conjuntos. Estas definiciones
son an´alogas al caso de sucesiones num´ericas como puede consultarse en un
ap´endice al final del texto.

Definici´ on.(L ´ ımite superior e inferior). Para una sucesi´on de
eventos {A n : n ∈ N},se define el l´ımite superior y el l´ımite inferior
como sigue:

∞ ∞
# !
1. l´ım sup A n = A k .
n→∞
n=1 k=n
∞ ∞
! #
2. l´ım inf A n = A k .
n→∞
n=1 k=n

Tanto el l´ımite superior como el l´ımite inferior son operaciones bien defini-
das, es decir, el resultado siempre existe y es ´unico. En cadacaso, el conjunto
resultante es siempre un evento, es decir, un conjunto medible. Es sencillo
tambi´en comprobar que

l´ım inf A n ⊆ l´ım sup A n .
n→∞ n→∞
Tampoco es dif´ıcil verificar que un elemento pertenece al evento l´ımite su-
perior si, y s´olo si, pertenece a una infinidad de elementos dela sucesi´on. En