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16 1.2. σ-´ algebras

algunos textos de habla inglesa el evento l´ımite superior seescribe(A n i.o.),
en donde las letras i.o. significan “infinitely often”. Por otro lado un ele-
mento pertenece al evento l´ımite inferior si, y s´olo si, pertenece a todos
los elementos de la sucesi´on excepto un n´umero finito de ellos. Con estos
conceptos podemos ahora establecer la definici´on de convergencia de una
sucesi´on de eventos.

Definici´ on.(Convergencia de eventos). Sea {A n : n ∈ N} una
sucesi´on de eventos. Si existe un evento A tal que

l´ım inf A n =l´ım sup A n = A,
n→∞ n→∞
entonces se dice que la sucesi´on converge al evento A,y se escribe
l´ım A n = A.
n→∞

Para calcular el posible l´ımite de una sucesi´on de eventos debemos entonces
calcular el l´ımite superior y el l´ımite inferior, y cuando el resultado de ambas
operaciones coincida, entonces a tal resultado com´un se le llama el l´ımite de
la sucesi´on.

Ejemplo.Para cada n´umero natural n defina el conjunto A n =[−1/n, 0]
si n es impar, y A n =[0, 1/n]si n es par. Entonces l´ım A n = {0} pues
n→∞
∞ ∞ ∞
# ! #
l´ım sup A n = A k = [−1/n, 1/n]= {0},
n→∞
n=1 k=n n=1
∞ ∞ ∞
! # !
y l´ım inf A n = A k = {0} = {0}.
n→∞
n=1 k=n n=1
!
Ejercicio. Sea A un evento. Demuestre que la siguiente sucesi´on de eventos
no es convergente.
&
A si n es impar,
A n =
A c si n es par.