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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 17

!
Como el ejercicio anterior muestra, no todas las sucesiones de eventos con-
vergen. Demostramos a continuaci´on que en particular toda sucesi´on mon´oto-
na es convergente. M´as adelante presentaremos algunos otros ejemplos con-
cretos de sucesiones de eventos, y en la secci´on de ejercicios se encuentran
algunos mas.

Proposici´ on.Sea {A n : n ∈ N} una sucesi´on mon´otona de eventos.

∞
!
1. Si A 1 ⊆ A 2 ⊆ ··· , entonces l´ım A n = A n .
n→∞
n=1
∞
#
2. Si A 1 ⊇ A 2 ⊇ ··· , entonces l´ım A n = A n .
n→∞
n=1

Demostraci´on.

1. Como la sucesi´on es creciente, entonces (observe el valorinicial del
sub´ındice en las operaciones de uni´on e intersecci´on),

∞ ∞
! !
A k = A k ,
k=n k=1
∞
#
y A k = A n .
k=n
Por lo tanto

∞ ∞ ∞ ∞ ∞
# ! # ! !
l´ım sup A n = A k = A k = A k ,
n→∞
n=1 k=n n=1 k=1 k=1
∞ ∞ ∞
! # !
y l´ım inf A n = A k = A n .
n→∞
n=1 k=n n=1