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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 13

Proposici´ on.Las siguientes σ-´algebras son todas id´enticas a B(R).

1. σ { [a, b]: a ≤ b }. 4. σ { (a, ∞): a ∈ R }.
2. σ { (a, b]: a ≤ b }. 5. σ { (−∞,b): b ∈ R }.
3. σ { [a, b): a ≤ b }.

Demostraci´on. Se prueba ´unicamente el primer inciso, el resto de ellos se
demuestra usando el mismo procedimiento. Para demostrar que B(R)=
σ{[a, b]: a ≤ b} se verifican ambas contenciones. Claramente [a, b] ∈ B(R),
por lo tanto {[a, b]: a ≤ b} ⊆ B(R). Entonces σ{[a, b]: a ≤ b} ⊆ B(R).
Ahora se demuestra la contenci´on contraria. Sabemos que (a, b) ∈ σ{[a, b]:
$ 1 1
a ≤ b} pues (a, b)= ∞ [a+ ,b− ]. Entonces {(a, b): a ≤ b} ⊆ σ{[a, b]:
n=1 n n
a ≤ b}.Por lo tanto B(R) ⊆ σ{[a, b]: a ≤ b}.

De manera equivalente se puede definir a B(R)como la m´ınima σ-´algebra
generada por todos los subconjuntos abiertos de R.En ambos casos la σ-
´algebra generada es B(R).

Es natural preguntarse si la colecci´on B(R)contiene a todos los subconjun-
tos de R.La respuesta es negativa, es decir, puede demostrarse que existe
un subconjunto de los n´umeros reales que no pertenece a la colecci´on B(R).
La construcci´on del tal conjunto no es sencilla, y puede obtenerse indirecta-
mente de la siguiente forma: la colecci´on B(R)est´a contenida en una clase
m´as amplia llamada la colecci´on de conjuntos Lebesgue medibles de R,y se
demuestra que existen subconjuntos de R que no son Lebesgue medibles, y
por tanto tampoco Borel medibles. Los detalles de estas afirmaciones pueden
encontrarse en textos de teor´ıa de la medida, como por ejemplo [5] o [14].

Es posible tambi´en considerar la σ-´algebra de conjuntos de Borel restringi-
dos a una porci´on de los n´umeros reales como se indica a continuaci´on.