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24 1.3. Medidas de probabilidad

6. La primera desigualdad es el segundo axioma, y la segunda esconse-
cuencia de la propiedad anterior cuando B = Ω yel primer axioma.
7. Descomponemos el evento A∪B como la siguiente uni´on de tres even-
tos disjuntos dos a dos: A ∪ B =(A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A)=
(A − A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A ∩ B). Por lo tanto P(A ∪ B)=
P(A) − P(A ∩ B)+ P(A ∩ B)+ P(B) − P(A ∩ B).
8. Esta propiedad es consecuencia de la anterior y el segundo axioma.

La propiedad (2) establece que las probabilidades son funciones ﬁnitamente
aditivas,y la propiedad (5) que son funciones mon´otonas.La desigualdad (8)
dice que las probabilidades son funciones ﬁnitamente subaditivas. Veamos
algunas otras propiedades.

Proposici´ on.(Desigualdades de Boole). Sea {A n : n ∈ N} una
sucesi´on de eventos. Entonces
∞ ∞
! "
1. P( A n ) ≤ P(A n ).
n=1 n=1

∞ ∞
# "
c
2. P( A n ) ≥ 1 − P(A ).
n
n=1 n=1

Demostraci´on.

1. Tome B 1 = A 1 ,y para n ≥ 2deﬁna

n−1
!
B n = A n − A k .
k=1

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