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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 29

superiormente por uno. Entonces el l´ımite de esta sucesi´onexiste y el lado
derecho de la igualdad tiene sentido. Defina los eventos

B 1 = A 1 ,
y B n = A n − A n−1 , para n ≥ 2.

La sucesi´on {B n : n ∈ N} es una colecci´on de eventos disjuntos dos a dos,
yes tal que
∞ ∞
! !
A n = B n .
n=1 n=1

Por lo tanto

∞ ∞
! !
P( A n )= P( B n )
n=1 n=1
∞
"
= P(B n )
n=1
∞
"
= P(B 1 )+ P(B n )
n=2
∞
"
= P(A 1 )+ P(A n − A n−1 )
n=2
∞
"
= P(A 1 )+ P(A n ) − P(A n−1 )
n=2
m
"
= P(A 1 )+ l´ım P(A n ) − P(A n−1 )
m→∞
n=2
= P(A 1 )+ l´ım P(A m ) − P(A 1 )
m→∞
= l´ım P(A m ).
m→∞