Page 40 - cip2007

28 1.3. Medidas de probabilidad

¯
c) La definici´on de P(A)no depende del subconjunto B asociado, es
decir, la definici´on es ´unica.
¯
¯
d) P es una medida de probabilidad sobre F.
¯
e) P(A)= P(A), para cada A en F.
¯ ¯
f) El espacio de probabilidad (Ω, F, P)es completo.
¯ ¯
g) (Ω, F, P)es el espacio de probabilidad completo m´as peque˜no que
contiene a (Ω, F,P), es decir, si (Ω, F 1 ,P 1 )es otro espacio de pro-
babilidad completo tal que F ⊆ F 1 y P 1 = P sobre F,entonces
¯
¯
¯
F ⊆ F 1 y P = P 1 sobre F.
!

Continuidad

Ahora demostraremos que las medidas de probabilidad son funciones con-
tinuas. Primero se prueba este resultado importante para dostiposde su-
cesiones particulares, aquellas que son mon´otonas crecientes o decrecientes,
ydespu´es se prueba en general. Empezaremos con el caso de sucesiones
crecientes.

Proposici´ on.Sea {A n : n ∈ N} una sucesi´on no decreciente de eventos,
esto es, A 1 ⊆ A 2 ⊆ ··· .Entonces

∞
!
P( A n )= l´ım P(A n ).
n→∞
n=1

Demostraci´on. Como A n ⊆ A n+1 ,tenemos que P(A n ) ≤ P(A n+1 ). Por lo
tanto la sucesi´on num´erica {P(A n ): n ∈ N} es no decreciente y acotada