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26 1.3. Medidas de probabilidad

1. Por las leyes de De Morgan y la desigualdad de Boole,

∞ ∞
# !
c
P( A n )= 1 − P( A )
n
n=1 n=1
∞
" c
≥ 1 − P(A )
n
n=1
=1.
∞ ∞
! !
2. Como A n ⊆ A n ,se tiene que 1 = P(A n ) ≤ P( A n ).
n=1 n=1
∞ ∞
# #
3. Como A n ⊆ A n ,entonces P( A n ) ≤ P(A n )= 0.
n=1 n=1

∞ ∞
! "
4. Por la desigualdad de Boole, P( A n ) ≤ P(A n )= 0.
n=1 n=1

Las propiedades (1) y (4) de la proposici´on anterior pueden interpretarse
de la siguiente forma. Intersectar dos eventos produce en general un evento
m´as peque˜no, o por lo menos no mayor a los intersectandos. Sin embargo la
propiedad (1) establece que la intersecci´on, a´un infinita,de eventos con pro-
babilidad uno produce un evento con probabilidad uno. An´alogamente, unir
dos eventos produce en general un evento mayor, pero por la propiedad (4),
la uni´on, a´un infinita, de eventos con probabilidad cero tiene probabilidad
cero.

Dos de las propiedades elementales m´as conocidas y de ampliaaplicaci´on
son la f´ormula de probabilidad total y la f´ormula de Bayes. Estas f´ormulas
hacen uso de la probabilidad condicional de un evento A dado otro evento
∩
B definida como sigue P(A | B):= P(A ∪ B)/P(B), cuando P(B) ̸=0.

∩