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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 27

Ejercicio. (Teorema de probabilidad total). Sea (Ω, F,P)un es-
pacio de probabilidad, y sea {A 1 ,A 2 ,...} una partici´on de Ω tal que cada
elemento de la partici´on es un evento con probabilidad estrictamente posi-
tiva. Demuestre que para cualquier evento B,

∞
"
P(B)= P(B | A n )P(A n ).
n=1

!
Ejercicio. (Teorema de Bayes). Sea (Ω, F,P)un espacio de proba-
bilidad, y sea A 1 ,A 2 ,... una partici´on de Ω tal que cada elemento de la
partici´on es un evento con probabilidad estrictamente positiva. Demuestre
que para cualquier evento B tal que P(B) > 0, y para cualquier m ≥ 1fijo,

P(B | A m )P(A m )
P(A m | B)= .
∞
"
P(B|A n )P(A n )
n=1

!
Ejercicio. (Completaci´ on de espacios). Se dice que un espacio de pro-
babilidad (Ω, F,P)es completo si cada vez que se tenga la situaci´on A ⊆ B
con B ∈ F y P(B)= 0, entonces tambi´en se tiene que A ∈ F y P(A)= 0.
Un espacio de probabilidad (Ω, F,P)que no es completo puede ser com-
pletado de la siguiente forma. Se toma el mismo Ω yse define la colecci´on
¯
F de todos aquellos subconjuntos A ⊆ Ω para los cuales existan B y C en
F con P(C)= 0, tales que B ⊆ A ⊆ B ∪ C.Para tal conjunto A se define
¯ ¯
¯
P(A)= P(B). Entonces resulta que (Ω, F, P)es un espacio de probabilidad
completo, y se llama la completaci´on de (Ω, F,P). Verifique esta afirmaci´on
demostrando los siguientes incisos.

¯
a) F es efectivamente una σ-´algebra.
¯
b) F ⊆ F.