Page 45 - cip2007

Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 33

Ejemplo.Se lanza un dado equilibrado una infinidad de veces. Sea A n el
evento correspondiente a obtener el evento A = {2, 4, 6} en cada uno de
los primeros n lanzamientos del dado. Entonces claramente A n ⊇ A n+1 y
n
P(A n )= 1/2 para cualquier n en N.Por lo tanto
∞
#
l´ım A n = A n .
n→∞
n=1
Entonces
∞
#
n
P( A n )= P(l´ım A n )= l´ım P(A n )= l´ım 1/2 =0.
n→∞ n→∞ n→∞
n=1
%
El evento ∞ A n se interpreta como aquel conjunto de resultados en el
n=1
que siempre se obtiene un n´umero par en cada uno de los lanzamientos. He-
mos demostrado que la probabilidad de tal evento es cero. En consecuencia
la probabilidad de que eventualmente aparezca un n´umero impar es uno.
Observe que el argumento presentado funciona de la misma forma cuando
el evento A es cualquier subconjunto propio de Ω distinto del vac´ıo. Por
ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4, 5},entonces la probabilidad de nunca obtener
“6” es cero. Por lo tanto, con probabilidad uno, cada una de lascarasdel
dado aparecer´a eventualmente. Puede demostrarse adem´as que cada una de
las caras aparecer´a una infinidad de veces con probabilidad uno. !

1.4. Independencia de eventos

En esta secci´on se define el concepto importante de independencia de even-
tos. La independencia es un tema central en la teor´ıa de la probabilidad,
yuno de sus rasgos distintivos. De manera natural la independencia apa-
recer´a con frecuencia a lo largo del texto a partir de ahora, yayudar´a a