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38 1.5. Lema de Borel-Cantelli

en pr´actica algunas propiedades de las medidas de probabilidad, aunque
tambi´en lo usaremos para presentar un par de aplicaciones y para demostrar
la ley fuerte de los grandes n´umeros en la ´ultima parte del curso.

Proposici´ on. (Lema de Borel-Cantelli). Sea {A n : n ∈ N} una
sucesi´on de eventos, y defina A =l´ım sup A n .
n→∞
∞
"
1. Si P(A n ) < ∞,entonces P(A)= 0.
n=1 ∞
"
2. Si A 1 ,A 2 ,... son independientes y P(A n )= ∞,entonces
n=1
P(A)= 1.

Demostraci´on.

1. Para cada n´umero natural n,

∞ ∞
! "
P(A) ≤ P( A k ) ≤ P(A k ).
k=n k=n
(
Como ∞ P(A n ) < ∞,el lado derecho tiende a cero cuando n tiende
n=1
a infinito. Esto implica que P(A)= 0.
2. Es suficiente demostrar que para todo n´umero natural n se cumple la
$
igualdad P( ∞ A k )= 1, pues la intersecci´on numerable de eventos
k=n