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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 39

con probabilidad uno tiene probabilidad uno. Para cada m> n,

∞ m
! !
1 − P( A k ) ≤ 1 − P( A k )
k=n k=n
m
# c
= P( A )
k
k=n
m
-
= [1 − P(A k )]
k=n
m
"
≤ exp(− P(A k )).
k=n
Para obtener la ´ultima expresi´on se usa la desigualdad: 1 − x ≤ e −x ,
(
v´alida para cualquier n´umero real x.Como ∞ P(A n )= ∞,el
n=1
lado derecho tiende a cero cuando m tiende a infinito. Por lo tanto
$ ∞
P( k=n A k )= 1 para cualquier valor de n yentonces P(A)= 1.

Ejemplo. (El problema del mono, nuevamente). El problema de en-
contrar la probabilidad de que un mono que escribe caracteresal azar en una
m´aquina de escribir, eventualmente escriba las obras completas de Shakes-
peare, puede resolverse tambi´en usando el lema de Borel-Cantelli. Suponga
que N es el total de caracteres de los que constan las obras completas de
Shakespeare y considere nuevamente la divisi´on por bloquesde longitud N:

x 1 ,... ,x N ,x N+1 ,... ,x 2N ,...
) *+ , ) *+ ,
El evento A k se define nuevamente como aquel en el que el mono tiene ´exito
en el k-´esimo bloque. Si nuevamente m denota el total de caracteres dispo-
N
nibles, entonces la probabilidad del evento A k es (1/m) ,y claramente la
sucesi´on A 1 ,A 2 ,... constituye una sucesi´on de eventos independientes tales
( (
que ∞ P(A k )= ∞ (1/m) N = ∞.Entonces por la segunda parte del
k=1
k=1