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44 1.6. Ejercicios
17. Sea C una colecci´on de subconjuntos de Ω.Diga falso o verdadero
Ω
justificando en cada caso: C ⊆ σ(C ) ⊆ 2 .
18. Demuestre que 2 Ω es una σ-´algebra de subconjuntos de Ω yque no
existe una σ-´algebra de subconjuntos de Ω que sea m´as grande.
19. Sea Ω un conjunto, F una σ-´algebra de subconjuntos de Ω ysea A
un evento cualquiera. De cada una de las dos expresiones siguientes
determine la que es notacionalmente correcta. Explique su respuesta.
a) Ω ∈ F ´o Ω ⊆ F.
b) A ∈ Ω ´o A ⊆ Ω.
c) ∅∈ F ´o ∅⊆ F.
d) A ∈ F ´o A ⊆ F.
σ-´algebras, ´algebras y semi´algebras
20. Definici´ on alternativa de ´ algebra. Demuestre que F es una
´algebra de subconjuntos de Ω si, y s´olo si, cumple las siguientes con-
diciones:
a) Ω ∈ F.
b)Si A, B ∈ F,entonces A − B ∈ F.
21. Demuestre que
F es σ-´algebra ⇒ F es ´algebra ⇒ F es semi´algebra.
22. ´ algebra ̸=⇒ σ-´ algebra. Sea Ω =(0, 1] y defina la colecci´on F de
subconjuntos de la forma
n
!
(a i ,b i ],
i=1
en donde (a i ,b i ] ⊆ (0, 1] con (a i ,b i ] ∩ (a j ,b j ]= ∅ para i ̸= j y n ∈ N.
Demuestre que F es una ´algebra pero no una σ-´algebra.
