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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 45

23. Mediante un contraejemplo demuestre que no toda semi´algebra es una
´algebra.

Conjuntos de Borel

24. Demuestre que B(R)= σ{(a, b]: a ≤ b}.
25. Demuestre que B(R)= σ{[a, b): a ≤ b}.

26. Demuestre que B(R)= σ{(a, ∞): a ∈ R}.

27. Demuestre que B(R)= σ{[a, ∞): a ∈ R}.
28. Demuestre que B(R)= σ{(−∞,b): b ∈ R}.

29. Demuestre que B(R)= σ{(−∞,b]: b ∈ R}.

30. Sea A ∈ B(R). Demuestre que B(A)es efectivamente una σ-´algebra
de subconjuntos de A.
31. Diga falso o verdadero. Justifique su respuesta.

1
a) σ{ ( 1 , ]: n ∈ N } = B(0, 1].
n+1 n
1
b) σ{ (0, ]: n ∈ N } = B(0, 1].
n
1
1
c) σ{ ( 1 , ]: n ∈ N } = σ{ (0, ]: n ∈ N }.
n+1 n n
2
32. Demuestre que B(R )= σ{[a, b] × [c, d]: a ≤ b, c ≤ d}.
2
33. Demuestre que B(R )= σ{(−∞,a) × (−∞,b): a, b ∈ R}.
2
34. Demuestre que B(R )= σ{(a, ∞) × (b, ∞): a, b ∈ R}.
Sucesiones de eventos

35. Sea {A n : n ∈ N} una sucesi´on de eventos. Demuestre que

a)l´ım sup A n es un evento.
n→∞