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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 47

40. Sea {a n : n ∈ N} una sucesi´on de n´umeros no negativos convergente
al n´umero a ≥ 0. Sea A n =[0,a n ]. Calcule l´ım inf A n yl´ım supA n .
n→∞ n→∞
41. Determine si cada una de las siguientes sucesiones de conjuntos es
convergente.
n
a) A n =(1/n, 2+ (−1) ) ⊆ R.
2
2
2
n
b) A n = {(x, y) ∈ R : x + y ≤ (1 + 1/n) }.
2
2
2
c) A n = {(x, y) ∈ R : x + y ≤ 2+ sen(nπ/2)}.
42. Demuestre que las siguientes sucesiones de eventos no sonconvergen-
tes.
a) A n = ∅ si n es impar, y A n = Ω si n es par.
n
b) A n =(0, 1+ (−1) ) ⊆ R.
43. Suponga que l´ım A n = A,y l´ım B n = B.Determine sila siguiente
n→∞ n→∞
sucesi´on es convergente.
&
A n si n es impar,
C n =
B n si n es par.
44. Encuentre condiciones sobre los eventos A y B para que la siguiente
sucesi´on de eventos sea convergente.

&
A si n es impar,
A n =
B si n es par.
45. Suponga que l´ım A n = A.Demuestre que para cualquier evento B,
n→∞
a)l´ım (A n ∩ B)= A ∩ B.
n→∞
b)l´ım (A n ∪ B)= A ∪ B.
n→∞
c)l´ım (A n − B)= A − B.
n→∞
d)l´ım (A n △B)= A△B.
n→∞