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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 63

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(⊇)Sea ahora ω un elemento de r∈Q (X> r) ∩ (Y> x − r). Entonces
existe un n´umero racional r 0 tal que X(ω) >r 0 y Y (ω) >x − r 0 .
Sumando obtenemos X(ω)+ Y (ω) >x,y por lo tanto ω es tambi´en
un elemento del lado izquierdo.

Proposici´ on.Si X y Y son v.a.s, entonces XY es variable aleatoria.

Demostraci´on. Suponga primero el caso particular X = Y .Entonces ne-
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cesitamos probar que para todo n´umero real x,elconjunto (X ≤ x)es
un elemento de F.Pero esto es cierto pues (X 2 ≤ x)= ∅ si x< 0, y
√ √
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(X ≤ x)= (− x ≤ X ≤ x)si x ≥ 0. En ambos casos, el conjunto
(X 2 ≤ x)es un elemento de F.Para elcaso general, X ̸= Y ,usamos
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2
la f´ormula XY =( (X + Y ) − (X − Y ) )/4. Por lo demostrado antes, el
producto XY es efectivamente una variable aleatoria.

Como consecuencia se cumple que si multiplicamos X por s´ı misma n veces,
n
entonces X es variable aleatoria. Por lo tanto toda funci´on polinomialde
una variable aleatoria es tambi´en variable aleatoria.

Proposici´ on.Sean X y Y v.a.s con Y ̸=0. Entonces X/Y es variable
aleatoria.

Demostraci´on. Como el producto de variables aleatorias es nuevamente una
variable aleatoria, es suficiente demostrar que 1/Y es variable aleatoria. Para