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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 67

Proposici´ on.Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on infinita de variables aleato-
rias tales que para cada ω en Ω,los n´umeros

l´ım sup {X 1 (ω),X 2 (ω),...} yl´ım inf {X 1 (ω),X 2 (ω),...}
son finitos. Entonces las funciones l´ım sup X n yl´ım inf X n son variables
n→∞ n→∞
aleatorias.

Demostraci´on. Esto es consecuencia de la proposici´on anterior pues

l´ım sup X n =´ınf (sup X n ),
k
n→∞ n≥k
y l´ım inf X n =sup (´ınf X n ).
n→∞ k n≥k

Finalmente demostramos que el l´ımite de una sucesi´on de variables aleato-
rias convergente es variable aleatoria.

Proposici´ on.Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on infinita de variables aleato-
rias tales que l´ım X n (ω)existe y es finito para cada ω ∈ Ω.Entonces
n→∞
la funci´on l´ım X n es una variable aleatoria.
n→∞

Demostraci´on. Como el l´ımite de X n existe, los l´ımites superior e inferior
de esta sucesi´on coinciden. Entonces por lo demostrado antes, el l´ımite de
X n es variable aleatoria.