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76 2.3. Tipos de variables aleatorias

ydistribuciones singulares.

Definici´ on. (Variable aleatoria absolutamente continua). La
variable aleatoria continua X con funci´on de distribuci´on F(x)se llama
absolutamente continua, si existe una funci´on no negativa eintegrable
f tal que para cualquier valor de x se cumple
x
'
F(x)= f(u) du. (2.3)
−∞
En tal caso a la funci´on f(x)se le llama funci´on de densidad de X.

A´un cuando exista una funci´on no negativa e integrable f que cumpla (2.3),
´esta puede no ser ´unica, pues basta modificarla en un punto para que sea
ligeramente distinta pero a´un as´ı seguir cumpliendo (2.3). A pesar de ello,
nos referiremos a la funci´on de densidad como si ´esta fuera ´unica, y ello
se justifica por el hecho de que las probabilidades son las mismas, ya sea
usando una funci´on de densidad o modificaciones de ella que cumplan (2.3).
Es claro que la funci´on de densidad de una variable aleatoriaabsolutamen-
te continua es no negativa y su integral sobre toda la recta real es uno.
Rec´ıprocamente, toda funci´on f(x)no negativa que integre uno en R se
llama funci´on de densidad.Si X es absolutamente continua con funci´on de
distribuci´on F(x)y funci´on de densidad continua f(x), entonces el teore-
ma fundamental del c´alculo establece que, a partir de (2.3), F (x)= f(x).
′
Adem´as, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo (a, b)es
el ´area bajo la funci´on de densidad sobre dicho intervalo. Esto se ilustra
en la Figura 2.6, la probabilidad es la misma si se incluyen o excluyen los
extremos del intervalo.

Pueden construirse ejemplos de variables aleatorias continuas que no tienen
funci´on de densidad, es decir, que no existe una funci´on f no negativa e in-
tegrable que cumpla (2.3) para cualquier n´umero real x.En tales situaciones
se dice que la distribuci´on es singular.