Page 98 - cip2007

86 2.5. Caracter´ ısticas num´ ericas

( (
x
∞ xf(x)= ∞ x/2 =2.
x=1 x=1
b) Sea X continua con funci´on de densidad f(x)= 2x,para 0 <x < 1.
3 ∞ 3 1
Entonces E(X)= xf(x) dx = x 2xdx =2/3.
−∞ 0
!

La integral o suma arriba mencionados pueden no existir y en ese caso se
dice que la variable aleatoria no tiene esperanza finita. El siguiente ejercicio
contiene un par de ejemplos que ilustran esta situaci´on. V´ease tambi´en el
ejercicio 151.

Ejercicio. Demuestre que no existe la esperanza de X cuando su funci´on
de probabilidad o de densidad es

1
a) f(x)= , para x =1, 2,...
x(x +1)
2
b) f(x)= 1/x , para x> 1.

!
Ejemplo.Sea X una variable aleatoria con la siguiente funci´on de distri-
buci´on. La forma de esta funci´on puede apreciarse m´as f´acilmente a trav´es
de su gr´afica, la cual se muestra en la Figura 2.9.

⎧
⎪ 0 si x< 0,
⎪
⎨ x/4 si 0 ≤ x< 1,
⎪
⎪
F(x)= 2/4 si 1 ≤ x< 2,
⎪ 1/4+ x/4si 2 ≤ x< 3,
⎪
⎪
⎪
⎩
1 si x ≥ 3.
De acuerdo a las propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes, la espe-