Page 103 - cip2007
P. 103
Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 91
!
Enunciamos a continuaci´on algunas propiedades de la varianza.
Proposici´ on. (Propiedades de la varianza). Sean X y Y con va-
rianza finita, y sea c una constante. Entonces
1. Var(X) ≥ 0.
2. Var(c)= 0.
2
3. Var(cX)= c Var(X).
4. Var(X + c)= Var(X).
2
2
5. Var(X)= E(X ) − E (X).
6. En general, Var(X + Y ) ̸=Var(X)+ Var(Y ).
La demostraci´on de estas propiedades es sencilla pues todasellas, excepto la
´ultima, se siguen directamente de la definici´on y de la propiedad lineal de la
esperanza. Para la ´ultima propiedad puede tomarse Y = X,con Var(X) ̸=0,
yverificarse la no igualdad. Otras propiedades de la varianzaaparecen m´as
adelante.
Ejercicio. Demuestre que Var(X)= E(X(X − 1)) − E(X)(E(X) − 1). !
Momentos
Los momentos de una variable aleatoria son n´umeros que representan algu-
nas caracter´ısticas de la distribuci´on de probabilidad asociada. Bajo ciertas
condiciones el conjunto de momentos determinan de manera ´unica a la dis-
tribuci´on de probabilidad.
