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96 2.6. Distribuciones discretas

cuya gr´afica es como en la Figura 2.11. Es sencillo verificar que E(X)= p,
yVar(X)= p(1 − p). En particular, si A es un evento con probabilidad p,
entonces la funci´on indicadora 1 A es una variable aleatoria con distribuci´on
Ber(p).

f(x)
0.7

0.3

x
0 1
Figura 2.11: Funci´on de probabilidad Ber(p)con p =0.7.

Distribuci´ on binomial. Suponga que se realizan n ensayos independien-
tes Bernoulli en donde la probabilidad de ´exito en cada uno deellos es
p ∈ (0, 1). El espacio muestral de este experimento consiste de todaslas
posibles sucesiones de longitud n de ´exitos y fracasos. Usando el principio
n
multiplicativo, es f´acil ver que este conjunto tiene 2 elementos. Si ahora se
define la variable aleatoria X como el n´umero de ´exitos en cada una de estas
sucesiones, entonces X toma los valores 0, 1,... ,n,y se dice que X tiene
una distribuci´on binomial con par´ametros n y p.Se escribe X ∼ bin(n, p),
ysu funci´on de probabilidad es
⎧ 4 5
n
⎪ x n−x
⎨ p (1 − p) si x =0, 1,... ,n,
f(x)= x
⎪
0 otro caso.
⎩
Se puede demostrar que E(X)= np,y Var(X)= np(1−p). En las gr´aficas de
la Figura 2.12 se muestra el comportamiento de esta funci´on de probabilidad.

Distribuci´ on geom´ etrica. Suponga que se tiene una sucesi´on infinita
de ensayos independientes Bernoulli en donde la probabilidad de ´exito en