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98 2.6. Distribuciones discretas

como el n´umero de ensayos, (y no el de fracasos), antes del primer ´exito. En
tal caso, la funci´on de probabilidad es f(x)= p(1−p) x−1 ,para x =1, 2,....
La media es entonces 1/p yla varianza es como antes.

Distribuci´ on Poisson. La variable aleatoria discreta X tiene una distri-
buci´on Poisson con par´ametro λ > 0, y se escribe X ∼ Poisson(λ)si su
funci´on de probabilidad es

⎧ λ x
⎨ e −λ si x =0, 1,...
f(x)= x!
0 otro caso.
⎩
Esta distribuci´on fue descubierta por Sime´on Denis Poisson en 1873 como
l´ımite de la distribuci´on binomial, al respecto v´ease el ejercicio 223. Puede
demostrarse que E(X)= λ, yVar(X)= λ.La gr´afica de la funci´on de
probabilidad Poisson se muestra en la Figura 2.14.

f(x)
0.3

0.2

0.1
x
1 2 3 4 5 6 7 8
Figura 2.14: Funci´on de probabilidad Poisson(λ)con λ =2.

Distribuci´ on binomial negativa. Suponga que se tiene una sucesi´on
infinita de ensayos independientes Bernoulli en donde la probabilidad de
´exito en cada ensayo es p ∈ (0, 1). Sea X el n´umero de fracasos antes de
obtener el r-´esimo ´exito. Se dice entonces que X tiene una distribuci´on
binomial negativa con par´ametros r y p.Se escribe X ∼ bin neg(r, p), y su