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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 93

Cuantiles

Definici´ on. (Cuantil). Sea p un n´umero real cualquiera en el intervalo
unitario (0, 1). Se le llama cuantil de orden p de una variable aleatoria X
o de su distribuci´on, a cualquier n´umero x p que cumpla las condiciones

P(X ≤ x p ) ≥ p,
y P(X ≥ x p ) ≥ 1 − p.

Es decir, el cuantil de orden p es aquel n´umero que acumula a su izquierda
una probabilidad mayor o igual a p,y al mismo tiempo acumula a su derecha
una probabilidad de por lo menos 1 − p.En general este n´umero no es
necesariamente ´unico. Sin embargo, cuando la correspondiente funci´on de
distribuci´on es estrictamente creciente, se cumple que el cuantil de cualquier
orden es ´unico.

Alos cuantiles de orden 1/4, 1/2y 3/4se les llamatambi´en cuartiles.En
particular al cuantil de orden 1/2se le llama mediana.Es decir, la mediana
es aquel n´umero m que cumple las desigualdades

P(X ≤ m) ≥ 1/2,
y P(X ≥ m) ≥ 1/2.

La mediana de una variable aleatoria es una medida de tendencia central
que permite dividir en dos partes iguales a la distribuci´on de probabilidad
cuando ´esta es continua y estrictamente creciente. Usando el concepto de
mediana ejemplificaremos la posible no unicidad de los cuantiles.

Ejemplo.Sea X es una variable aleatoria discreta tal que P(X =1) =1/2,
y P(X =0) = 1/2. Cualquier n´umero en el intervalo [0, 1] es una mediana
de X. !