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358 9.3. Teorema central del l´ ımite

Teorema central del l´ ımite.Sea X 1 ,X 2 ... una sucesi´on de va-
riables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas tales que
2
para cada natural n, E(X n )= µ yVar(X n )= σ < ∞.Entonces
X 1 + ··· + X n − nµ d
√ −→ N(0, 1).
nσ

Demostraci´on. Observe que
X 1 + ··· + X n − nµ (X 1 − µ)/σ + ··· +(X n − µ)/σ
√ = √ ,
nσ n
en donde cada sumando del numerador en el lado derecho es una variable
con media cero y varianza uno. As´ı pues, sin p´erdida de generalidad, supon-
dremos que cada variable de la sucesi´on tiene media cero y varianza uno.
√
Considere entonces la suma Z n =(X 1 + ··· + X n )/ n.Se desea probar que
d −t /2
2
Z n → N(0, 1). Para ello es suficiente demostrar que φ Z n (t) → e .Por
independencia e id´entica distribuci´on,
√ √
n
(t)= E( e it(X 1 +···+X n)/ n )= ( φ X (t/ n)) ,
φ Z n
en donde φ X (t)es la funci´on caracter´ıstica de cualquier elemento de la
sucesi´on, que por la expansi´on (8.1) adquiere la expresi´on, cuando t → 0,
1
2
φ X (t)= 1 − t (1 + o(1)).
2
Por lo tanto,
t 2 n
(t)= ( 1 − (1 + o(1)) ) .
φ Z n
2n
2
(t) → e −t /2 .
Haciendo n →∞ se obtiene φ Z n
El teorema central del l´ımite establece entonces que para cualquier n´umero
real x,
X 1 + ··· + X n − nµ
l´ım P( √ ≤ x )= P(Z ≤ x),
n→∞ nσ