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Cap´ ıtulo 9. Dos teoremas l´ ımite 353

El argumento es el siguiente. Sea nuevamente S n =(X 1 + ··· + X n )/n.
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Entonces E(S n )= µ yVar(S n )= σ /n,suponiendo Var(X)= σ < ∞.
La desigualdad de Chebyshev aplicada a la variable S n asegura que para
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cualquier ϵ > 0se cumple P (|S n − µ| ≥ ϵ) ≤ σ /nϵ . Basta ahora tomar el
l´ımite cuando n tiende a infinito para obtener el resultado.
Damos a continuaci´on un ejemplo sencillo de aplicaci´on de la ley d´ebil y
m´as adelante demostramos la ley fuerte.
Ejemplo (Probabilidad frecuentista). Considere un experimento alea-
torio cualquiera y sea A un evento. Se efect´uan realizaciones independientes
del experimento, y se observa en cada ensayo la ocurrencia o noocurrencia
del evento A.Sea X k la variable que toma el valor uno si en el k-´esimo ensayo
se observa A,y cero en caso contrario. Entonces las variables X 1 ,X 2 ,... son
independientes cada una con distribuci´on Ber(p), en donde p es la probabili-
dad desconocida del evento A.Por lo tanto E(X k )= p yVar(X k )= p(1−p).
La ley d´ebil de los grandes n´umeros asegura que la fracci´onde ensayos en
los que se observa el evento A converge, en probabilidad, a la constante
desconocida p cuando el n´umero de ensayos crece a infinito. Esta es la de-
finici´on frecuentista de la probabilidad, y hemos entonces corroborado su
validez con ayuda de la ley de los grandes n´umeros. !

Ejemplo.A continuaci´on se muestra gr´aficamente una simulaci´on encompu-
tadora del comportamiento del cociente (X 1 + ··· + X n )/n cuando n crece.
Se muestra tambi´en el c´odigo MATLAB utilizado, el cual puede ser traduci-
do f´acilmente a cualquier otro lenguaje de programaci´on. Se generaron 200
valores al azar usando la distribuci´on discreta Ber(p), con p =0.5. El coman-
do “binornd(n,p)” genera un valor al azar de la distribuci´onbin(n, p). Los
A
datos obtenidos por este paquete fueron luego trasladados a LT X, usando
E
pstricks, para generar la gr´afica mostrada en la Figura 9.1. Los puntos gra-
ficados fueron unidos por una linea continua para una mejor visualizaci´on
del comportamiento inicial oscilante y su eventual estabilizaci´on. !

Ejemplo.Esta es otra simulaci´on en computadora del comportamientodel
cociente (X 1 + ··· + X n )/n cuando n crece, ahora usando la distribuci´on