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Cap´ ıtulo 9. Dos teoremas l´ ımite 351

en donde en particular A 1 =( |S 1 | ≥ ϵ ). El evento de inter´es puede escribirse
$ n
como A = k=1 A k .Entonces
n
"
2
2
2
E(S ) ≥ E(S 1 A )= E(S 1 A k )
n
n
n
k=1
n
"
2
= E((S k +(S n − S k )) 1 A k )
k=1
n
"
2
2
= E((S +2S k (S n − S k )+ (S n − S k ) )1 A k )
k
k=1
n n n
" " "
2 2 2
≥ E(S 1 A k ) ≥ ϵ E(1 A k ) ≥ ϵ P(A k )
k
k=1 k=1 k=1
2
= ϵ P(A).
2
El resultado se obtiene al observar que E(S )= Var(S n )= ( n Var(X k ).
n
k=1
Cuando n =1 la desigualdad de Kolmogorov se reduce a la desigualdad de
Chebyshev. En resumen se tiene la siguiente tabla.
Algunas desigualdades
Markov: a) P(X ≥ ϵ) ≤ E(X)/ϵ, para X ≥ 0.
b) P(|X| ≥ ϵ) ≤ E|X|/ϵ.
n
n
c) P(|X| ≥ ϵ) ≤ E|X| /ϵ .
2
Chebyshev: a) P(|X − µ| ≥ ϵ) ≤ Var(X)/ϵ .
b) P(X ≥ ϵ) ≤ E[g(X)]/g(ϵ), con g ≥ 0no decreciente.
n
1 "
Kolmogorov: P(m´ax{|X 1 + ··· + X k |} ≥ ϵ ) ≤ 2 Var(X k ).
k ϵ
k=1