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Cap´ ıtulo 9. Dos teoremas l´ ımite 349

En palabras, esta desigualdad dice que la probabilidad de que X difiera
de su media en mas de ϵ est´a acotada superiormente por la varianza entre
2
ϵ .A este resultado se le conoce tambi´en con elnombre de desigualdad de
Chebyshev-Bienaym´e.Existen otras versiones de esta desigualdad equiva-
lentes a la demostrada, por ejemplo,

2
a) P(|X − µ| ≥ ϵσ) ≤ 1/ϵ .
2
b) P(|X − µ| < ϵσ) ≥ 1 − 1/ϵ .
2
2
c) P(|X − µ| < ϵ) ≥ 1 − σ /ϵ .

Ahora demostraremos una versi´on de la desigualdad de Chebyshev un poco
m´as general.

Proposici´ on. (Desigualdad de Chebyshev extendida). Sea X
una variable aleatoria, y sea g ≥ 0 una funci´on no decreciente tal que
g(X)es una variable aleatoria con esperanza finita. Para cualquier ϵ > 0,

E[g(X)]
P(X ≥ ϵ) ≤ . (9.2)
g(ϵ)

Demostraci´on.

E[g(X)] = E[ g(X)1 (X≥ϵ) + g(X)1 (X<ϵ) ]
≥ E[ g(X)1 (X≥ϵ) ]

≥ E[ g(ϵ)1 (X≥ϵ) ]
= g(ϵ)P(X ≥ ϵ).