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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 345

x
x
599. Sea X con funci´on de distribuci´on F(x)= e /(1 + e ). Demuestre
que F(x)es efectivamente una funci´on de distribuci´on, y calcule su
funci´on caracter´ıstica asociada. Con ayuda de ´esta ´ultima encuentre
la esperanza y la varianza de X.

600. Sean X y Y independientes. Demuestre que

' '
∞ ∞
φ XY (t)= φ Y (tx) dF X (x)= φ X (ty) dF Y (y).
−∞ −∞
601. Mediante el c´alculo de residuos de la teor´ıa de variable compleja puede
demostrarse que la distribuci´on Cauchy est´andar tiene funci´on carac-
ter´ıstica
'
∞ 1
φ(t)= e itx dx = e −|t| .
2
π(1 + x )
−∞
Suponiendo este resultado, encuentre el error en el siguiente argu-
mento para encontrar la f.g.m. de la distribuci´on Cauchy: “Como
φ(t)= e −|t| y M(t)= φ(−it), entonces M(t)= e −|−it| = e −|t| .” El
caso es que no existe la f.g.m. para la distribuci´on Cauchy.
602. Sean X 1 ,... ,X n independientes cada una de ellas con distribuci´on
Cauchy est´andar, es decir, la funci´on caracter´ıstica es φ(t)= e −|t| .
Use este resultado para demostrar que la v.a. S n =(X 1 + ··· + X n )/n
tiene distribuci´on Cauchy est´andar para cualquier valor de n.