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350 9.1. Algunas desigualdades
Pafnuty Lvovich Chebyshev Andrei Andreyevich Markov
(Rusia, 1821–1894) (Rusia, 1856–1922)
Profesor y alumno.
Fuente: Archivo MacTutor, Universidad de St. Andrews.
Apartir de la desigualdad anterior y con una funci´on g adecuada se pueden
obtener tanto la desigualdad de Chebyshev como la desigualdad de Markov.
Proposici´ on. (Desigualdad de Kolmogorov). Sean X 1 ,... ,X n in-
dependientes con media cero y segundo momento finito. Para cualquier
ϵ > 0,
n
1 "
P(m´ax {|X 1 + ··· + X k |} ≥ ϵ ) ≤ Var(X k ).
k ϵ 2
k=1
Demostraci´on. Para cada k =1,... ,n,defina S k = X 1 + ··· + X k ,cuya
esperanza es cero por hip´otesis. Observe que las variables S k y S n − S k son
independientes y por lo tanto E(S k (S n − S k )) = 0. Defina ahora los eventos
disjuntos
k−1
#
A k =( |S k | ≥ ϵ ) ∩ ( |S i | < ϵ ),
i=1
