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352 9.2. Ley de los grandes n´ umeros

9.2. Ley de los grandes n´umeros

Este interesante resultado establece que, bajo ciertas condiciones, el prome-
dio de variables aleatorias converge a una constante cuando el n´umero de
sumandos crece a infinito. Demostraremos dos versiones de esta afirmaci´on,
las cuales se distinguen por el tipo de convergencia de la que se trate. La
ley d´ebil establece la convergencia en probabilidad y la ley fuerte dice que
la convergencia es casi segura. La ley fuerte implica entonces la ley d´ebil.
Existen adem´as varias generalizaciones de este resultado.

Teorema de Bernoulli. (Ley d´ ebil de los grandes n´ umeros).
Sean X 1 ,X 2 ,... independientes e id´enticamente distribuidas con media
µ.Entonces
n
1 " p
X i −→ µ.
n
i=1

Demostraci´on. Sea S n =(X 1 + ··· + X n )/n,y sea φ(t)la funci´on carac-
ter´ıstica de cualquier elemento X de la sucesi´on. Como X tiene esperanza
finita µ ypor la expansi´on (8.1),
φ(t)= 1 + it(µ + o(1)), cuando t → 0.

Por independencia la funci´on caracter´ıstica de S n es entonces
n
n
(t)= φ (t/n)= ( 1 + i(t/n)(µ + o(1)) ) , cuando t → 0,
φ S n
(t) → e iµt ,en donde e iµt es la funci´on
Haciendo n →∞ se obtiene φ S n
d
caracter´ıstica de la variable aleatoria constante µ.Esto implica que S n → µ.
El resultado se obtiene al recordar que la convergencia en distribuci´on a una
constante es equivalente a la convergencia en probabilidad.

Este mismo resultado puede demostrarse f´acilmente a partirde la desigual-
dad de Chebyshev bajo la hip´otesis adicional de existencia de la varianza.