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354 9.2. Ley de los grandes n´ umeros

randn(’state’,150)
N=200; S=zeros(1,N); Sn=zeros(1,N); S n /n
p=0.5; R=binornd(1,p);
S(1)=R; Sn(1)=R;
for j=2:N 1/2
S(j)=S(j-1)+binornd(1,p);
Sn(j)=S(j)/j;
end n
plot([Sn],’r-’) 100 200

Figura 9.1: Comportamiento del cociente S n /n cuando n crece cuando las variables
X i tienen distribuci´on discreta Ber(p), con p =0.5, y el c´odigo MATLAB para
generar la simulaci´on.

continua N(1, 9). El comando “randn” genera valores al azar de la distribu-
ci´on normal est´andar, de modo que la expresi´on “1+3*randn” corresponde
aun valor de ladistribuci´on N(1, 9). Se generaron nuevamente 200 de estos
valores y los resultados de muestran en la Figura 9.2. Es gratificante obser-
var las oscilaciones iniciales de dicho cociente y su eventual estabilizaci´on
hacia la media de la distribuci´on. !

Teorema. (Ley fuerte de los grandes n´ umeros). Sean X 1 ,X 2 ,...
independientes e id´enticamente distribuidas con media µ.Entonces
n
1 " c.s.
X i −→ µ.
n
i=1

Demostraci´on. (Suponiendo cuarto momento finito). Dada la id´entica dis-
tribuci´on de los elementos de la sucesi´on, cualquier elemento de ´esta se
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denota simplemente por X.Suponga que E|X − µ| = σ yobserve que