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356 9.2. Ley de los grandes n´ umeros

Como esta afirmaci´on vale para cualquier ϵ > 0, se cumple que
n
1 "
P(l´ım X i = µ )= 1.
n→∞ n
i=1

Ejemplo. (El problema del mono, nuevamente). Usaremos la ley
fuerte de los grandes n´umeros para dar otra soluci´on al problema del mono.
Considere entonces un mono que escribe caracteres al azar. Nos interesa
encontrar la probabilidad de que el mono eventualmente escriba las obras
completas de Shakespeare, las cuales, supondremos, tienen una longitud
total de N caracteres. Nuevamente se consideran bloques de longitud N de
la siguiente forma
x 1 ,... ,x N ,x N+1 ,... ,x 2N ,...
) *+ , ) *+ ,
Sea A k el evento correspondiente a que en el k-´esimo bloque el mono tenga
´exito, y sea X k la variable aleatoria indicadora del evento A k ,es decir,

&
1si A k ocurre,
X k =
0si A k no ocurre.
Se tiene entonces una sucesi´on de variables aleatorias X 1 ,X 2 ,... indepen-
N
dientes e id´enticamente distribuidas Ber(p), con p = P(A k )= (1/m) ,
suponiendo que el total de caracteres disponibles es m.En particular, la
media de cada una de estas variables es E(X k )= p.Considere ahora la
suma X 1 +···+X n .Sipara alg´un valor de n esta suma es positiva, significa
que alguno de los sumandos es distinto de cero, y por lo tanto que el mono
ha tenido ´exito. Pero esto es justamente lo que garantiza la ley fuerte de los
grandes n´umeros pues
n
1 "
P(l´ım X k = p )= 1.
n→∞ n
k=1
Es decir, con probabilidad uno la suma en esta ecuaci´on es positiva. Esto
implica que debe existir un valor de k tal que X k =1, y esto a su vez