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360 9.4. Ejercicios

9.4. Ejercicios

Desigualdad de Markov

603. Demuestre la desigualdad de Markov siguiendo los siguientes pasos:
Suponga X ≥ 0, y para ϵ > 0defina
&
ϵ si X ≥ ϵ,
X ϵ =
0si X< ϵ.
Compruebe que X ϵ ≤ X.Ahora tome esperanza de ambos lados y
calcule E(X ϵ ).

604. Use la desigualdad de Markov para demostrar que si X es una va-
riable aleatoria no negativa con esperanza cero, entonces X =0 casi
seguramente.

605. Conv. en media ⇒ Conv. en probabilidad. Demuestre que la
convergencia en media implica la convergencia en probabilidad, usando
la desigualdad de Markov aplicada a la variable aleatoria no negativa
|X n − X|.

Desigualdad de Chebyshev

606. Conv. en m.c. ⇒ Conv. en probabilidad. Use la desigualdad de
Chebyshev (9.2) para demostrar directamente que la convergencia en
media cuadr´atica implica la convergencia en probabilidad.

607. Demuestre la desigualdad de Chebyshev (9.1) usando la desigualdad
de Markov aplicada a la variable aleatoria no negativa |X − µ|.

608. Use la desigualdad de Chebyshev para demostrar que si X es una
variable aleatoria tal que E(X)= a yVar(X)= 0, entonces X es
constante casi seguramente, es decir, P(X = a)= 1.