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362 9.4. Ejercicios

616. Desigualdad de Cantelli. Demuestre que si Var(X) < ∞,enton-
ces para cualquier ϵ > 0,
2Var(X)
P(|X − E(X)| > ϵ) ≤ .
2
ϵ +Var(X)
Ley de los grandes n´umeros

617. Use la ley d´ebil de los grandes n´umeros para demostrar que si X n
p
tiene distribuci´on bin(n, p), entonces 1 X n −→ p,cuando n tiende a
n
infinito.
618. Ley de los grandes n´ umeros en media cuadr´ atica. Demues-
2
tre que si X 1 ,X 2 ,... son independientes con media µ yvarianza σ ,
entonces
n
1 " m.c.
X i −→ µ.
n
i=1
Observe que no se pide la hip´otesis de id´entica distribuci´on para las
variables aleatorias y que este resultado no es consecuenciade la ley
fuerte.

2
619. Sean X 1 ,... ,X n independientes con distribuci´on N(µ, σ ). El prome-
2
dio (X 1 + ··· + X n )/n tiene distribuci´on N(µ, σ /n)para cualquier
valor de n.¿Contradice esto la ley de los grandes n´umeros?
620. En el ejercicio 602 se pide usar la funci´on caracter´ıstica para demos-
trar que si X 1 ,... ,X n son independientes con distribuci´on Cauchy
est´andar, entonces el promedio S n =(X 1 +···+X n )/n tiene distribu-
ci´on Cauchy est´andar, independientemente del valor de n.¿Contradice
esto la ley de los grandes n´umeros?

621. Se lanza una moneda equilibrada 2n veces. Calcule la probabilidad de
que ambas caras caigan el mismo n´umero de veces. ¿Qu´e le sucede a
esta probabilidad cuando n tiende a infinito? ¿Contradice esto la ley
de los grandes n´umeros?