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Ap´ endice A. Distribuciones de probabilidad 367

t r
M(t)= [p/(1 − qe )] .
Este es el modelo que se usa para contar el n´umero de fracasos antes de
obtener el r-´esimo ´exito en una sucesi´on de ensayos independientes Bernou-
lli, en donde en cada ensayo la probabilidad de ´exito es p.La distribuci´on
binomial negativa se reduce a la distribuci´on geom´etrica cuando r =1.

Distribuci´on Cauchy

X ∼ Cauchy(a, b)con a> 0y b> 0.
1
f(x)= .
2
bπ[1 + ((x − a)/b) ]
La esperanza, la varianza y cualquier momento no existen.
La funci´on generadora de momentos no existe para t ̸=0.
φ(t)= exp(iat − b|t|).
Cuando a =0 y b =1 se obtiene la distribuci´on Cauchy est´andar, y coincide
con la distribuci´on t(n)con n =1. En este caso,
2
f(x)= 1/(π(1 + x )), para x ∈ R.
F(x)= 1/2+ (arctan x)/π, para x ∈ R.

Distribuci´on exponencial

X ∼ exp(λ)con λ > 0.
f(x)= λe −λx , para x> 0.
F(x)= 1 − e −λx , para x> 0.
E(X)= 1/λ.
2
Var(X)= 1/λ .
M(t)= λ/(λ − t)para t< λ.
φ(t)= λ/(λ − it).
La suma de n variables independientes exp(λ)tiene distribuci´on gama(n, λ).