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Cap´ ıtulo 9. Dos teoremas l´ ımite 357

significa que en el k-´esimo bloque el mono ha tenido ´exito. M´as a´un, para
que el promedio que aparece en esta ecuaci´on sea positivo necesariamente la
suma debe ser infinita, y por lo tanto, deben existir una infinidad de valores
de k tal que X k =1. Esto quiere decir que con probabilidad uno el mono
escribir´a una infinidad de veces las obras completas de Shakespeare. !

9.3. Teorema central del l´ımite

Concluimos el curso con el c´elebre y famoso teorema central del l´ımite. Este
resultado es de amplio uso en estad´ıstica y otras ramas de aplicaci´on de la
probabilidad. Existen muchas versiones y generalizacionesde este teorema
pero nos limitaremos a enunciar y demostrar una versi´on simple y corta.
Un caso particular de este resultado lleva el nombre de A. de Moivre y de
P. S. Laplace.

Teorema de De Moivre-Laplace.Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de
variables aleatorias independientes tal que cada una de ellas tiene dis-
tribuci´on Bernoulli con par´ametro p ∈ (0, 1). Para cualesquiera n´umeros
reales a< b,

' b
X 1 + ··· + X n − np 1 2
l´ım P( a< : <b )= √ e −x /2 dx.
n→∞ np(1 − p) 2π a

En palabras este resultado establece que la variable aleatoria (X 1 + ··· +
:
X n −np)/ np(1 − p)converge en distribuci´on a una variable aleatoria nor-
mal est´andar, una demostraci´on directa puede ser encontrada en [8]. Este
teorema fue descubierto por A. de Moivre alrededor de 1733 en el caso cuan-
do las variables aleatorias tienen distribuci´on Bernoullicon p =1/2. A˜nos
despu´es P. S. Laplace demostr´o su validez para valores arbitrarios de p.El
teorema de de Moivre-Laplace es una caso particular del siguiente resultado
fundamental.